Состоялась 6-я Международная конференция МЛ ЛогЛинФФ «Формальная философия 2023»
На пленарных заседаниях конференции выступали А. Н. Поддьяков (НИУ ВШЭ), Е. В. Борисов (Институт философии и права СО РАН) совместно с И. И. Мухаметшиной (ТГУ), С. О. Кузнецов (НИУ ВШЭ), Э. Дзардини (Мадридский университет Комплутенсе), И. Д’Оттавиано (Университет Кампинаса) и С. О. Сперанский (МИАН).
В докладе «Нетранзитивность превосходства как поле междисциплинарных исследований» Александр Николаевич Поддьяков рассматривал феномен анти- или нетранзитивности отношения превосходства и его статус в разных научных дисциплинах. Нетранзитивность превосходства проще всего проиллюстрировать на примере игры «камень – ножницы – бумага». Хотя камень побеждает ножницы, а ножницы побеждают бумагу, нельзя перейти к тому, что камень побеждает бумагу. А. Н. Поддьяков показал, что этот принцип встречается как в естественных, так и в точных науках. В биологии существует нетранзитивная конкуренция, причём как межвидовая (в модели «хищник-жертва»), так и внутривидовая (три и более морф одного вида). В математике и математической логике обсуждение нетранзитивности превосходства связано прежде всего с парадоксом голосования Кондорсе и теоремой Эрроу «о невозможности демократии». Отдельный акцент докладчик сделал на известном ещё в Древнем Китае магическом квадрате Ло Шу. В этой таблице числа от 1 до 9 расположены так, что сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали одинакова. Так вот, в этом квадрате также наблюдается нетранзитивное превосходство, когда каждая из строк «побеждает» (превосходит числом) другую в 5 из 9 случаев. Физическое проявление нетранзитивности превосходства А. Н. Поддьяков очень эффектно продемонстрировал на собственном механизме, в котором каждая из трех пар шестерней вращалась быстрее, чем другая. Таким образом, докладчик пришел к выводу, что универсальность переноса принципа транзитивности из области логики сравнения и теории принятия решения на другие дисциплины является чересчур поспешной. И уж тем более не говорит о нерациональности наших рассуждений или целых наук. А. Н. Поддьяков отметил, что следующим шагом в изучении нетранзитивности будет поиск ответа на вопрос о происхождении этого принципа в мире и его работе на разных уровнях устройства Вселенной.
Евгений Борисович Борисов вместе с Индирой Искандаровной Мухаметшиной представили сообщение «Модальная логика с поссибилистскими кванторами». В своем исследовании авторы пытались разрешить проблему истинностных условий для формулы ♢♢P(a). По своей сути, эта формула значит, что за два шага из мира w1 через мир w2 достижим мир w3, в котором константа (а) обладает свойством P. И в общем виде истинность первоначальной формулы определяется денотатом константы (а) в мире w3 и будет интерпретацией de dicto. Основным вопросом исследования были условия истинности константы в начальном мире w1, при интерпретации de re, а также в мире-посреднике w2 (промежуточная интерпретация). Для отражения этих комплектов истинностных условий авторам был необходим особый лингвистический формальный инструментарий. Е. В. Борисов и И. И. Мухаметшина сперва рассказали о языке Фиттинга-Мендельсона, использующего для той же цели оператор λ. В этом языке для отражения разных условий истинности изначальной формулы ♢♢P(a), модальный оператор возможности будет по очереди для каждого из миров проникать в λ-абстракцию. Так что, в интерпретации de dicto оба ромба останутся вовне, в промежуточной интерпретации один ромб окажется внутри, а в de re интерпретации оба ромба будут под действием лямбда-оператора . На основе языка Фиттинга-Мендельсона авторы разработали свой язык логики MLPQ (modal logic with possibilist quantifiers), из которого убрали лямбда-оператор, но добавили поссибилистские кванторы к привычным актуалистским. В нем комплект истинностных условий будет определяться уже количеством операторов возможности перед (и под действием) поссибилистского квантора существования Σ. Исследователи также продемонстрировали, что на языке MLPQ выразимо больше формул, чем на языке Фиттинга-Мендельсона. А в заключении доклада была представлена полная и корректная табличная теория доказательства для MLPQ и примеры её использования для конкретных формул.
В своем докладе «Понятия, таксономии и зависимости в данных» Сергей Олегович Кузнецов обратился к современной дискуссии вокруг нейросетей. Очень часто нейросети работают по принципу «черного ящика». На определенный запрос мы получаем ответ, толком не понимая самого механизма выбора и перехода к выходным данным. В случае же, когда речь идет об этически значимых решениях (лечение болезни, выдача кредита) мы должны пользоваться только «объяснимым ИИ», результаты которого можно будет объяснить. С.О. Кузнецов в докладе представил разработку моделей человеческого знания или HKM (human knowledge model), призванную объяснить работу нейросетей. НКМ работает с формальным контекстом, который состоит из трех частей: множество объектов – G, множество признаков – M и бинарное отношение между этими множествами – I. Внутри этого контекста есть формальные понятия, отличающиеся друг от друга по объему и содержанию. Множества таких понятий можно представить на графе или диаграмме Хассе. На таких графах-решетках будут работать правила импликации и вероятностных зависимостей, также отображаемые графически как движение по ребрам графа. С.О. Кузнецов в конце доклада предложил использовать для объяснения работы нейросетей узорные понятия, то есть фрактальную структуру, состоящую из множества графов. Такие структуры предлагают таксономию в форме упорядоченного множества понятий (решеток), а также точные и вероятностные зависимости для интерпретируемого обнаружения знания.
Элиа Дзардини в докладе «Апейрон» (“Ápeiron”) обратился к древнейшим проблемам античной философии, а именно к парадоксу кучи (парадокс Сорита) и делению пространства до бесконечности. Автор привел свой вариант этого парадокса. Представим себе Эгейское море и некоторую область воды a такую, что мы с трудом можем отнести её как к Эгейскому, так и какому-то другому морю (далеко как от центра Эгейского, так и от центра Ионического моря). Тогда получится, что равноправно мы можем назвать морем как Эгею+a, так и Эгею-а, соответственно включающую и не включающую в себя эту область а. Значит, на территории Эгейского моря находятся несколько Эгейских морей, что абсурдно. В философии эта проблема получила название «проблемы многого», когда интуитивно единый объект распадается на мириады других объектов. Элиа Дзардини выступил с критикой традиционных подходов для решения этой проблемы неопределенности: эпистецизма и сверхзначимости (supervalutionism). Автор предложил свою систему для решения проблемы многого, состоящую из наивной теории неопределенности N и языка логики LS. Основная особенность системы N-LS состоит в отказе от метаправила транзитивности, порождающего сам парадокс. Несмотря на её отсутствие, в логике будет работать теорема дедукции для импликации и экстенсиональные теории конъюнкции, дизъюнкции и квантификации. Наивная теория неопределенности понимает огромные объекты как беспредельные, то есть не имеющие границ в определенном направлении. В рамках этой теории будут различаться Дедекиндова и Канторовская бесконечности (в классической математике совпадают). Беспредельное будет бесконечным в первом смысле этого слова, то есть меньше, чем потенциальная бесконечность. В конце своего доклада Элиа Дзардини сделал вывод, что неопределенность является онтологическим свойством объектов. Мыслимые границы вещей всегда будут определены не до конца, поскольку у объекта не может быть лимита его частей и в этом смысле он беспределен, как и апейрон Анаксимандра.
Заключительным во второй день конференции был доклад «Трехзначная логика Чарльза Пирса» (“Charles Peirce's 'Three-valued Logic ”), который рассказала Итала Д’Оттавиано. В рукописи Пирса «Триадическая логика» (“Triadic Logic”), датированной 1909 годом, американский философ в форме таблиц истинности изложил основы своей трехзначной пропозициональной системы. Эта рукопись впервые была опубликована только в 1966 году Максом Фишем и Атуэллом Туркеттом. Итала Д’Оттавиано в своем докладе кратко изложила основные положения этой работы Пирса. Помимо значения истины и лжи, американский логик вводит также «значение предела» (limit value – L), которое соответствует неопределенному значению истины. Пирс предлагает 6 разных унарных операторов отрицания: два тотальных (меняют истинностное значение во всех строках таблицы), два частичных (не меняют истинностное значение в некоторых строках) и ещё два дополнительных частичных отрицания, полученных после наложения первой пары на вторую. Сочетание этих унарных операторов дает нам, согласно Пирсу, 6 бинарных операторов, обозначенных греческими буквами, которые вместе образуют по три пары {Φ, Θ}, {Ψ, Ζ}, {Ω, Υ}. Итала Д’Оттавиано, пользуясь методом таблиц истинности Пирса, проанализировала соответствие более поздних трехзначных логик Лукасевича L3 и да Коста J3. В результате автор доклада пришла к идее, что логика L3 будет паранепротиворечивой и параполной относительно пирсовского отрицания n2 и n3. Тогда как логика J3 не будет параполной, но также будет паранепротиворечивой относительно негаций n2 и n3. Свой доклад Итала Д’Оттавиано закончила выводом, что любая трехзначная логическая система выразима через матрицы Чарльза Пирса. А также высказала предположение, что этот результат можно будет математически экстраполировать на любую n-значную логику, где n – это натуральное число.
В последний третий день конференции Станислав Олегович Сперанский сделал доклад «A Carnapian framework for reasoning about arbitrary natural numbers» (на основе совместной работы с Леоном Хорстеном). Отталкиваясь от работ Файна, посвящённых «произвольным» объектам, докладчик обсудил ряд проблем, связанных с рассуждениями о такого рода сущностях. В своё время Крипке предложил использовать для устранения этих проблем кванторную модальную логику в духе Карнапа, где кванторы бегают по индивидным концептам. Следуя предложению Крипке, С.О. Сперанский и Л.Хорстен определили формальный язык для рассуждения о «произвольных» натуральных числах. Отличительной чертой этого языка является то, что он содержит особый предикат «быть конкретным». В ходе доклада подробно обсуждались как теоретико-модельные, так и вычислительные свойства получающегося языка. В частности, если предполагать бесконечность множества возможных миров, то этот язык оказывается равносилен языку арифметики второго порядка.
